Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Étape 3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 7.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$x + C - (\arctan (x) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$x - \arctan (x) + C$