Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x^{2} - 1) \sqrt{2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Étape 3.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int ({u_{2}}^{2} - 1) {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u_{2} + 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int ({(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ comme $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$\int ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - 1) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.9

Remettez dans l’ordre $\frac{u_{3}}{2}$ et $- 1$ .

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.10

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.11

Multipliez $\frac{u_{3}}{2}$ par $\frac{u_{3}}{2}$ .

$\int \frac{u_{3} \cdot u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.12

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{1} u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.13

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{{u_{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{2}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{2}}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.17

Multipliez $\frac{{u_{3}}^{2}}{4}$ par $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{{u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.19

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.20

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.22.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.22.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.23

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - 1 \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.24

Associez $- 1 \frac{u_{3}}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.25

Multipliez $\frac{- 1 \frac{u_{3}}{2}}{2}$ par $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3}}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.26

Associez $\frac{u_{3}}{2}$ et ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.27

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.29

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.31

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.32

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.33

Associez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{u_{3}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.34

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3}}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.35

Associez $- \frac{u_{3}}{4}$ et $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.36

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.37

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.38

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.39

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.40

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.41

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.42

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.43

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.44

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.45

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.46

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 2} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.47

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 6.48

Remettez dans l’ordre $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ et $\frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ comme $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}}{4}$ comme un produit.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.5

Soustrayez $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ de $- \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - 2 \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.6

Associez $- 2$ et $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{8} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.8.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{2 (4)} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.8.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.8.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.10

Réécrivez $- 1 \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ comme $- \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} + \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{8} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{8} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{2} d u_{3}$

Étape 17

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3})$

Étape 18

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \frac{1}{8} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 19

Simplifiez

$\frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{28} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{10} - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 21.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 21.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 21.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{28} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 22

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 22.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{1}{28} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 22.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 22.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 23

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{28} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{12} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{10} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$