Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + x$ . Alors $d u = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{2}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Évaluez $e^{u}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Étape 3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{2} - 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{2} - 1$

Forme décimale :

$6.38905609 \dots$