Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Alors $d u = - 4 x d x$ , donc $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 4 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez

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Étape 3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 5

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$