Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x + 4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4 + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u + 2 \cdot - 4) u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.8

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.10

Multipliez $u^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3.11

Additionnez $- 8 u^{- \frac{1}{2}}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Comme $- 7$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ comme $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.3

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 14 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$\frac{4}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} - 14 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C$