Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Étape 3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ sur $0$ et sur $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 5.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Associez des fractions en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 6.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6.1.2.2

Soustrayez $\arctan (\frac{t}{4})$ de $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Étape 6.3

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Étape 6.4

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Étape 6.5

Remplacez $\frac{t}{4}$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $- \infty$ car $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Étape 6.6

La limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ est $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Étape 6.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.7.1

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 6.7.2

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.7.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 6.7.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π}{8}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{8}$

Forme décimale :

$0.39269908 \dots$