Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x}{2 x^{2} + 6} d x$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2 x^{2} + 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 6} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 6} d x$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 3} d x$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot 3$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Étape 1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 3} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{2} + 3$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{2} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$\ln (| x^{2} + 3 |) + C$