Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$