Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{u + 1}}^{2}$ comme $u + 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u + 1}$ comme ${(u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

$\int (u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{u}$ .

$\int (u + 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.2

Associez $u$ et $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.2

Réécrivez $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$