Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\arctan (u) + C$ .

$- (\arctan (u) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \arctan (u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- \arctan (\cos (x)) + C$