Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 9 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 9 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 9 - 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 9 - 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 9 - 3^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1 \cdot 9$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

Étape 1.5.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{9}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{9}^{0} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{9}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{0}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $0$ et sur $9$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 7.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 7.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Étape 7.4.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 27 (\frac{2}{3}))$

Étape 7.5.2

Associez $- 27$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Étape 7.5.3

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 54}{3})$

Étape 7.5.4

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $3$ .

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Étape 7.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 54$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Étape 7.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Étape 7.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Étape 7.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 18}{1})$

Étape 7.5.4.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 18)$

Étape 7.6

Soustrayez $18$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 18$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Multipliez $- 18$ par $- 1$ .

$18 (\frac{1}{2})$

Étape 7.7.2

Associez $18$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{18}{2}$

Étape 7.7.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $2$ .

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Étape 7.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Étape 7.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Étape 7.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Étape 7.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1}$

Étape 7.7.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9$