Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$u_{upper} = 1 + 8$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $9$ et sur $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Étape 5

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Étape 5.3

Divisez $9$ par $3$ .

$\ln (3)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (3)$

Forme décimale :

$1.09861228 \dots$