Calcul infinitésimal Exemples

$\int x e^{3 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{u}{3}$ et $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{u e^{u}}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.3

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.4

Associez $\frac{x}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{9}$ et $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$