Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Étape 1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = x^{4}$ . Alors $d u = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{1 + u^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Étape 3.2

Déplacez $4$ à gauche de $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$