Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 5$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Développez $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $5 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{10}{3}$ et ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.2

Pour écrire $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3

Pour écrire $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.4.1

Multipliez $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4.3

Multipliez $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Étape 11.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.1

Factorisez $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ .

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Étape 11.6.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 11.6.1.1.1

Déplacez ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 11.6.1.1.2

Déplacez ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 11.6.1.2

Factorisez $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 11.6.1.3

Factorisez $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Étape 11.6.1.4

Factorisez $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ à partir de $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Étape 11.6.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

Étape 11.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.6.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

Étape 11.6.3.2

Simplifiez

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

Étape 11.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

Étape 11.6.3.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

Étape 11.6.4

Soustrayez $15$ de $25$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

Étape 11.7

Multipliez $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

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Étape 11.7.1

Associez $2$ et $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

Étape 11.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$