Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \sqrt{y + 1} d y$

Étape 1

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 1.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 - 2}{3}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{14}{3}$

Forme décimale :

$4.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{2}{3}$