Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{1}{4} u^{4}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.5

Réécrivez $\frac{1}{2}$ comme $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.6

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.9

Multipliez les exposants dans ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Étape 4.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.9.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.11

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.2.13

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Étape 4.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Étape 4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Étape 4.4.4

Soustrayez $16$ de $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Étape 4.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{15}{64}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{15}{64}$ par $1$ .

$\frac{15}{64}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{15}{64}$

Forme décimale :

$0.234375$