Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = u_{1} - 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = u_{1} - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} - 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Étape 3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = u_{2} + 1$ . Puis $d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = u_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{2} + 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez ${(u_{3} - 1)}^{2}$ comme $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ .

$\int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} (u_{3} - 1) - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.8

Remettez dans l’ordre $u_{3}$ et $- 1$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.9

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.10

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.14

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.15

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.17.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.17.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.18

Factorisez le signe négatif.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.19

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.24

Factorisez le signe négatif.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.25

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.27

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.29

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.30

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.31

Multipliez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.32

Soustrayez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ de $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Étape 5.33

Remettez dans l’ordre $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{2}{5}$ et ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 11.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $u_{2} + 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} - 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$\frac{2}{7} {(x + 1 - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(x + 1 - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(x + 1 - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$