Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.3.3.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.4

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Étape 6.4.1

Associez $2^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Étape 6.4.2

Multipliez $2^{\frac{3}{2}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez $2^{\frac{3}{2}}$ par $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Étape 6.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Étape 6.4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Étape 6.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Étape 6.4.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Forme décimale :

$10.74292127 \dots$