Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 2 x^{2}$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + 4 x$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$4 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Étape 6

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Étape 8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Étape 9

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Étape 9.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Étape 9.3

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Étape 10.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{8}{36}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $36$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{2}$