Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(1 + 6 x)}^{4} (6) d x$

Étape 1

Déplacez $6$ à gauche de ${(1 + 6 x)}^{4}$ .

$\int 6 {(1 + 6 x)}^{4} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 6 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 6 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$0 + 6$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $6$ .

$6$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 6 x$ .

$\frac{1}{5} {(1 + 6 x)}^{5} + C$