Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Étape 4

Comme

$20$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$20$ en dehors de l’intégrale.

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

Étape 5

Multipliez

$20$ par

$- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Étape 6

Laissez

$x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , où

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis

$d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ . Depuis

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ est positif.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Simplifiez

$\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez

$\frac{5}{\sqrt{7}}$ par

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1.2.1

Multipliez

$\frac{5}{\sqrt{7}}$ par

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.2

Élevez

$\sqrt{7}$ à la puissance

$1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.3

Élevez

$\sqrt{7}$ à la puissance

$1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6

Réécrivez

${\sqrt{7}}^{2}$ comme

$7$ .

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Étape 7.1.1.2.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{7}$ comme

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 7.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.3

Associez

$\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ et

$\sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1.1.4.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.4.2

Appliquez la règle de produit à

$5 \sqrt{7} \sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.4.3

Appliquez la règle de produit à

$5 \sqrt{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1.5.1

Élevez

$5$ à la puissance

$2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2

Réécrivez

${\sqrt{7}}^{2}$ comme

$7$ .

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Étape 7.1.1.5.2.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{7}$ comme

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 7.1.1.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez

$25$ par

$7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.6

Élevez

$7$ à la puissance

$2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.7

Annulez le facteur commun de

$7$ .

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Étape 7.1.1.7.1

Factorisez

$7$ à partir de

$- 7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.7.2

Factorisez

$7$ à partir de

$49$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.8

Annulez le facteur commun à

$175$ et

$7$ .

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Étape 7.1.1.8.1

Factorisez

$7$ à partir de

$175 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.8.2.1

Factorisez

$7$ à partir de

$7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.8.2.4

Divisez

$25 \sin^{2} (t)$ par

$1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.1.9

Multipliez

$25$ par

$- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.2

Factorisez

$25$ à partir de

$25$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.3

Factorisez

$25$ à partir de

$- 25 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.4

Factorisez

$25$ à partir de

$25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.6

Réécrivez

$25 \cos^{2} (t)$ comme

${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez

$\frac{1}{5 \cos (t)}$ par

$\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

Étape 7.2.2

Multipliez

$7$ par

$5$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à

$5$ et

$35$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez

$5$ à partir de

$5 \sqrt{7} \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez

$5$ à partir de

$35 \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de

$\cos (t)$ .

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Étape 7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ comme

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez

$- 20$ et

$\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de

$t$ par

$\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ .

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

Étape 9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$