Calcul infinitésimal Exemples

$\int (1 + \cos (3 x)) d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (1 + \cos (u)) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int 1 + \cos (u) d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} (\int d u + \int \cos (u) d u)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} (u + C + \int \cos (u) d u)$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} (u + C + \sin (u) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{3} (u + \sin (u)) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 x + \sin (3 x)) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (3 x)$ .

$x + \frac{\sin (3 x)}{3} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$