Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Étape 1.5.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Étape 1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Étape 1.5.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 1.5.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Étape 1.5.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{4})$ comme $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Étape 1.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Étape 1.5.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $\frac{3}{4}$ et sur $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Étape 6.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$