Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 2 x^{2}$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + 4 x$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$4 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1)$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2)$

Étape 6.3.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{4}{4}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4}$

Étape 6.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$1$