Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 4}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{4}{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4}{u} d u$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$- 4 \ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$