Calcul infinitésimal Exemples

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Étape 1

Déplacez $2$ à gauche de $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Alors $d u = 20 x d x$ , donc $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (5 x^{2} - 3)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 2.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.1.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.1.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Étape 2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.8.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$2 (10 x)$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$20 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \frac{1}{20} d u$

Étape 3

Associez $u$ et $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ comme $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ comme $\frac{1}{40} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$