Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Développez $(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.2

Factorisez le signe négatif.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.8

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.9

Remettez dans l’ordre $- u^{\frac{3}{2}}$ et $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 9

Simplifiez

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 11.1.2

Associez ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Étape 11.1.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.2

Pour écrire $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3

Pour écrire $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.4.1

Multipliez $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 11.4.3

Multipliez $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Étape 11.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 11.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$