Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

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Étape 6.1.1

Associez $u^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Étape 6.1.2

Placez $u^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Étape 6.2

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$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 u^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x)} + C$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + C$

Étape 8.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + C$

Étape 8.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + C$

Étape 8.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$