Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Étape 1.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Développez $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3.7

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 7

Associez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ et $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Pour écrire $\frac{2}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.2

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 9.5.3

Additionnez $6$ et $10$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 10.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 11

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 12.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 12.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 12.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

Étape 13.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{16}{15} - 0$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{16}{15} + 0$

Étape 13.4

Additionnez $\frac{16}{15}$ et $0$ .

$\frac{16}{15}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16}{15}$

Forme décimale :

$1.0\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{15}$