Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{3} + 2 x)}^{5} (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(x^{3})}^{5} + 5 {(x^{3})}^{4} (2 x) + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{5}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3 \cdot 5} + 5 {(x^{3})}^{4} (2 x) + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\int (x^{15} + 5 {(x^{3})}^{4} (2 x) + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int (x^{15} + 5 \cdot 2 {(x^{3})}^{4} x + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$\int (x^{15} + 10 {(x^{3})}^{4} x + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{3 \cdot 4} x + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{12} x + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.5

Multipliez $x^{12}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.5.1

Déplacez $x$ .

$\int (x^{15} + 10 (x \cdot x^{12}) + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{12}$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int (x^{15} + 10 (x^{1} x^{12}) + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int (x^{15} + 10 x^{1 + 12} + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.5.3

Additionnez $1$ et $12$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 {(x^{3})}^{3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{3}$ .

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 x^{3 \cdot 3} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 x^{9} {(2 x)}^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.7

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 x^{9} (2^{2} x^{2}) + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 \cdot 2^{2} x^{9} x^{2} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.9

Multipliez $x^{9}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 \cdot 2^{2} (x^{2} x^{9}) + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 \cdot 2^{2} x^{2 + 9} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.9.3

Additionnez $2$ et $9$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 \cdot 2^{2} x^{11} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 10 \cdot 4 x^{11} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.11

Multipliez $10$ par $4$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 {(x^{3})}^{2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.12

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 x^{3 \cdot 2} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 x^{6} {(2 x)}^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.13

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 x^{6} (2^{3} x^{3}) + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 \cdot 2^{3} x^{6} x^{3} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.15

Multipliez $x^{6}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.15.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 \cdot 2^{3} (x^{3} x^{6}) + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 \cdot 2^{3} x^{3 + 6} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.15.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 \cdot 2^{3} x^{9} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.16

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 10 \cdot 8 x^{9} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.17

Multipliez $10$ par $8$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 x^{3} {(2 x)}^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.18

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 x^{3} (2^{4} x^{4}) + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 \cdot 2^{4} x^{3} x^{4} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.20

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.20.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 \cdot 2^{4} (x^{4} x^{3}) + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 \cdot 2^{4} x^{4 + 3} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.20.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 \cdot 2^{4} x^{7} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.21

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 5 \cdot 16 x^{7} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.22

Multipliez $5$ par $16$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 80 x^{7} + {(2 x)}^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.23

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 80 x^{7} + 2^{5} x^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.2.24

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\int (x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 80 x^{7} + 32 x^{5}) (6 x^{2} + 4) d x$

Étape 2.3

Développez $(x^{15} + 10 x^{13} + 40 x^{11} + 80 x^{9} + 80 x^{7} + 32 x^{5}) (6 x^{2} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\int x^{15} (6 x^{2}) + x^{15} \cdot 4 + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{15} x^{2} + x^{15} \cdot 4 + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{15}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 (x^{2} x^{15}) + x^{15} \cdot 4 + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{2 + 15} + x^{15} \cdot 4 + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $2$ et $15$ .

$\int 6 x^{17} + x^{15} \cdot 4 + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{15}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 \cdot x^{15} + 10 x^{13} (6 x^{2}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 10 \cdot 6 x^{13} x^{2} + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.5

Multipliez $x^{13}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 10 \cdot 6 (x^{2} x^{13}) + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 10 \cdot 6 x^{2 + 13} + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.5.3

Additionnez $2$ et $13$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 10 \cdot 6 x^{15} + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.6

Multipliez $10$ par $6$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 10 x^{13} \cdot 4 + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.7

Multipliez $4$ par $10$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 40 x^{11} (6 x^{2}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 40 \cdot 6 x^{11} x^{2} + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.9

Multipliez $x^{11}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 40 \cdot 6 (x^{2} x^{11}) + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 40 \cdot 6 x^{2 + 11} + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.9.3

Additionnez $2$ et $11$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 40 \cdot 6 x^{13} + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.10

Multipliez $40$ par $6$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 40 x^{11} \cdot 4 + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.11

Multipliez $4$ par $40$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 80 x^{9} (6 x^{2}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 80 \cdot 6 x^{9} x^{2} + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.13

Multipliez $x^{9}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.13.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 80 \cdot 6 (x^{2} x^{9}) + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 80 \cdot 6 x^{2 + 9} + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.13.3

Additionnez $2$ et $9$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 80 \cdot 6 x^{11} + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.14

Multipliez $80$ par $6$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 80 x^{9} \cdot 4 + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.15

Multipliez $4$ par $80$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 80 x^{7} (6 x^{2}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 80 \cdot 6 x^{7} x^{2} + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.17

Multipliez $x^{7}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.17.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 80 \cdot 6 (x^{2} x^{7}) + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 80 \cdot 6 x^{2 + 7} + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.17.3

Additionnez $2$ et $7$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 80 \cdot 6 x^{9} + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.18

Multipliez $80$ par $6$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 80 x^{7} \cdot 4 + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.19

Multipliez $4$ par $80$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 32 x^{5} (6 x^{2}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 32 \cdot 6 x^{5} x^{2} + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.21

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.21.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 32 \cdot 6 (x^{2} x^{5}) + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 32 \cdot 6 x^{2 + 5} + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.21.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 32 \cdot 6 x^{7} + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.22

Multipliez $32$ par $6$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 32 x^{5} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.23

Multipliez $4$ par $32$ .

$\int 6 x^{17} + 4 x^{15} + 60 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 2.5

Additionnez $4 x^{15}$ et $60 x^{15}$ .

$\int 6 x^{17} + 64 x^{15} + 40 x^{13} + 240 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 2.6

Additionnez $40 x^{13}$ et $240 x^{13}$ .

$\int 6 x^{17} + 64 x^{15} + 280 x^{13} + 160 x^{11} + 480 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 2.7

Additionnez $160 x^{11}$ et $480 x^{11}$ .

$\int 6 x^{17} + 64 x^{15} + 280 x^{13} + 640 x^{11} + 320 x^{9} + 480 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 2.8

Additionnez $320 x^{9}$ et $480 x^{9}$ .

$\int 6 x^{17} + 64 x^{15} + 280 x^{13} + 640 x^{11} + 800 x^{9} + 320 x^{7} + 192 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 2.9

Additionnez $320 x^{7}$ et $192 x^{7}$ .

$\int 6 x^{17} + 64 x^{15} + 280 x^{13} + 640 x^{11} + 800 x^{9} + 512 x^{7} + 128 x^{5} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 x^{17} d x + \int 64 x^{15} d x + \int 280 x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{17} d x + \int 64 x^{15} d x + \int 280 x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{17}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{18} x^{18}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + \int 64 x^{15} d x + \int 280 x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 6

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 \int x^{15} d x + \int 280 x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{15}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{16} x^{16}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + \int 280 x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 8

Comme $280$ est constant par rapport à $x$ , placez $280$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 \int x^{13} d x + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{13}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{14} x^{14}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + \int 640 x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 10

Comme $640$ est constant par rapport à $x$ , placez $640$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 \int x^{11} d x + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{11}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + \int 800 x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 12

Comme $800$ est constant par rapport à $x$ , placez $800$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 800 \int x^{9} d x + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{9}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} x^{10}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 800 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + \int 512 x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 14

Comme $512$ est constant par rapport à $x$ , placez $512$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 800 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 512 \int x^{7} d x + \int 128 x^{5} d x$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$6 (\frac{1}{18} x^{18} + C) + 64 (\frac{1}{16} x^{16} + C) + 280 (\frac{1}{14} x^{14} + C) + 640 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 800 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + 512 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int 128 x^{5} d x$

Étape 16

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , placez $128$ en dehors de l’intégrale.

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Simplifiez

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + 128 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Étape 18.2

Simplifiez

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Étape 18.2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + 128 \frac{x^{6}}{6} + C$

Étape 18.2.2

Associez $128$ et $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{128 x^{6}}{6} + C$

Étape 18.2.3

Annulez le facteur commun à $128$ et $6$ .

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Étape 18.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $128 x^{6}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{2 (64 x^{6})}{6} + C$

Étape 18.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{2 (64 x^{6})}{2 (3)} + C$

Étape 18.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{2 (64 x^{6})}{2 \cdot 3} + C$

Étape 18.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160 x^{12}}{3} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{64 x^{6}}{3} + C$

Étape 18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{18} + 4 x^{16} + 20 x^{14} + \frac{160}{3} x^{12} + 80 x^{10} + 64 x^{8} + \frac{64}{3} x^{6} + C$