Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 4}{2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{2 u} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} d u$

Étape 4

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} + \frac{4}{u} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.2

Associez.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 7.7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 9

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3}))) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 16

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

Étape 17

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Étape 18

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| u |)]_{1}^{3}))$

Étape 19

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} 2 x + 1]_{1}^{3} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $2 x + 1]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} - \frac{5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

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Étape 20.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.5.2

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

Étape 20.6

Pour écrire $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 20.7

Associez $4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + \frac{4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2})$

Étape 20.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Étape 20.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Étape 20.9.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

Étape 20.9.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Étape 20.9.4

Additionnez $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ et $8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

Étape 20.10

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

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Étape 20.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 20.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{4}$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$