Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{25 - x^{2}} (- 2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 25 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $\frac{1}{- 2 x} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 25 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$