Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 4 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - (- u + 4) \sqrt{u} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int (- u + 4) \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 4) u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Développez $(- u + 4) u^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.2

Factorisez le signe négatif.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.8

Remettez dans l’ordre $- u^{\frac{3}{2}}$ et $4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int 4 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int 4 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 10

Simplifiez

$- (\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$- (\frac{8}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Associez $\frac{8}{3}$ et ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 13.1.2

Associez ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Étape 13.1.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 13.2

Pour écrire $\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 13.3

Pour écrire $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 13.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 13.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Étape 13.4.3

Multipliez $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Étape 13.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Étape 13.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 13.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Étape 13.6.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{15} (40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$