Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 3.9

Associez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2

Réécrivez $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ comme $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 10.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$