Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Étape 1

Laissez $u = \frac{π t}{2}$ . Alors $d u = \frac{π}{2} d t$ , donc $\frac{2}{π} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{π t}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Étape 1.3.1.2.4

Divisez $π \cdot 0$ par $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Étape 1.3.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Étape 1.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Étape 2.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{2}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{2}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5

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Étape 5.1

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Étape 5.2

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{π} \cdot 1$

Étape 5.2.5

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$\frac{2}{π}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{π}$

Forme décimale :

$0.63661977 \dots$