Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$ comme $\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{2} x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{5}$ comme ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{4} x})}^{n}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})}^{n}]$

Étape 1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [{(x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} x^{\frac{1}{2}})}^{n}]$

Étape 5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Étape 5.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Étape 5.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n}]$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n}]$

Étape 5.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{n}$ et $g (x) = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = n$ .

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 6.3.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 12

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 17.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 18

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 19.2

Multipliez $n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 19.2.1

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $n$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 19.2.2

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2}$ et ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 19.3

Multipliez $n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

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Étape 19.3.1

Associez $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $n$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$

Étape 19.3.2

Associez $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2}$ et ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Étape 19.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Étape 19.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Étape 19.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.6.1

Factorisez $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ à partir de $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

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Étape 19.6.1.1

Factorisez $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ à partir de $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

Étape 19.6.1.2

Factorisez $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ à partir de $5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

Étape 19.6.1.3

Factorisez $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ à partir de $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

Étape 19.6.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{1})}{2}$

Étape 19.6.3

Simplifiez

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x)}{2}$