Calcul infinitésimal Exemples

$3 e^{x} - e^{2 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{x} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$3 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$3 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$3 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$3 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 e^{x} - 2 e^{2 x}$