Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$7 x + C + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Étape 5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$7 x + C - 6 \int x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x^{3} d x$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x^{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Simplifiez

$7 x - 2 x^{3} + 12 (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + 12 \frac{x^{4}}{4} + C$

Étape 9.2.2

Associez $12$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{12 x^{4}}{4} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{3 x^{4}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $3 x^{4}$ par $1$ .

$7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$ .

$F (x) =$ $7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$