Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{3} + 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Étape 5.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ par $2 y (6 y + 5)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ par $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $6 y + 5$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$