Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 2

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $1 - u^{2}$ par $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 8

Simplifiez

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\tan^{3} (x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$