Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.5

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.6

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.1.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.7.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.9

Simplifiez

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Étape 9.3.1.9.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.9.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11

Simplifiez

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Étape 9.3.1.11.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.1.11.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 9.3.1.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.1.11.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.3.1.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.1.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

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Étape 9.3.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.2.2

Additionnez $4 x^{5} - 2 x^{5}$ et $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.3.3

Soustrayez $2 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} - 2 x$ .

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Étape 9.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.5

Simplifiez

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Étape 9.4.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Étape 9.4.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $x$ à partir de $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 9.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 9.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 9.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$