Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \tan (y)$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ .

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Étape 5.2

Soustrayez $x'$ des deux côtés de l’équation.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $x \sec^{2} (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4

Factorisez $x'$ à partir de $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x'$ à partir de $y x' \sec^{2} (x y)$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $x'$ à partir de $- x'$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ .

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ par $y \sec^{2} (x y) - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ par $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$