Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 4

Laissez $u = - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 4.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 3 x$ .

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 3 x$ .

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

Étape 4.5

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$u_{upper} = - 12$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 5.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

Étape 11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 12$ et sur $9$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

Étape 13.2

Évaluez $e^{x}$ sur $4$ et sur $- 3$ .

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

Étape 13.3

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.2

Associez $e^{- 12}$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.3

Multipliez $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ .

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Étape 14.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.3.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $e^{9}$ .

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.4

Placez $e^{- 12}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

Étape 14.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

Étape 14.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

Étape 14.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

Étape 14.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

Forme décimale :

$5238.41085872 \dots$

Étape 16