Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ et $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $\frac{3 π}{2}$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Associez $\frac{3 π}{2}$ et $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2.2.3

Pour écrire $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.2.2.4

Associez $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.3.8

Pour écrire $\sin (\frac{3 π}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.9

Associez $\sin (\frac{3 π}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.3.13

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.3.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.3.15

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Étape 5.3.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Étape 5.3.17

Réécrivez $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ comme $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Étape 5.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.4.3

Multipliez $3 π \cdot 0$ .

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 5.4.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Étape 5.4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Étape 5.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Étape 5.4.8

Annulez le facteur commun à $0 + 2 + 2$ et $2$ .

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Étape 5.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Étape 5.4.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Étape 5.4.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Étape 5.4.8.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.4.8.5

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Étape 5.4.8.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.8.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Étape 5.4.8.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.8.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Étape 5.4.8.6.4

Divisez $0 + 1 + 1$ par $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Étape 5.4.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$- (1 + 1)$

Étape 5.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 5.4.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$