Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x - 1] - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + 0) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $3 x^{2} - 4 x + 1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + x + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Additionnez $x$ et $8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 2 - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $x$ de $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 2 + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$