Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y)$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y$

Étape 4.2.3

Associez $y$ et $\frac{2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- \frac{2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$