Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 5 {(2 x + 3)}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 5 {(2 x + 3)}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 {(2 x + 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$- 5 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- 15 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$- 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$