Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ par $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Étape 4

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Étape 4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Étape 4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $x (- e^{- x})$ sur $\ln (2)$ et sur $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Étape 7.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- \ln (2)$ et sur $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3.5

Additionnez $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ et $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Étape 7.3.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Simplifiez $- \ln (2)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Étape 8.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Étape 8.4

Associez $\ln (2)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Simplifiez $- \ln (2)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Étape 8.5.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Étape 8.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 8.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Étape 8.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 8.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Étape 8.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Étape 8.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Étape 8.11

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 8.11.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.15342640 \dots$

Étape 10