Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y - 5 y = 12$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y - 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 2.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

Étape 3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' - 5 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ .

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ par $x^{2} - 5$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ par $x^{2} - 5$ .

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 5$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$